پايداری Stability معيارپايداری. Stability Criteria. Page 1 of 8

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "پايداری Stability معيارپايداری. Stability Criteria. Page 1 of 8"

Ἰεζάβελ Αθανασιάδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

پايداری Stility اطمينان از پايداری سيستم های کنترل در زمان طراحی ا ن بسيار حاي ز اهمييت می باشد.

تعريف فوق را می توان با مثال زير روشنتر نمود. اگر مخروط مطابق شکل بر روی قاعده ا ن قرار گيرد در صورت وارد شدن ضربه ملايمی به حالت اوليه خو باز خواهد گشت.

اگر مخروط بر روی پهلو قرار گيرد در اثر وارد شدن ضربه ملايمی به دوران در خواهد ا مد ولی به حالت قبلی خود بازنخواهد گشت که از نظر پايداری به چنين حالتی خنثی اطلاق می شود.

1 پايداری Stility اطمينان از پايداری سيستم های کنترل در زمان طراحی ا ن بسيار حاي ز اهمييت می باشد. سيستمی پايدار محسوب می شود که: بعد از تغيير ضربه در ورودی خروجی به مقدار اوليه ا ن بازگردد. هر مقدار تغيير محدود در ورودی موجب مقدار محدودی در خروجی گردد. تعريف فوق را می توان با مثال زير روشنتر نمود. اگر مخروط مطابق شکل بر روی قاعده ا ن قرار گيرد در صورت وارد شدن ضربه ملايمی به حالت اوليه خو باز خواهد گشت. به چنين سيستمی پايدار گفته می شود. اگر مخروط بر روی پهلو قرار گيرد در اثر وارد شدن ضربه ملايمی به دوران در خواهد ا مد ولی به حالت قبلی خود بازنخواهد گشت که از نظر پايداری به چنين حالتی خنثی اطلاق می شود. اگر به نحوی مخروط بر روی نوک قرار گيرد به روی پهلو سقوط خواهد نمود که بدين حالت ناپايدار گفته می شود. مثالی از سيستم ناپايدار که نشان دهنده ميزان اهميت پايداری سيستم است پل تنگه تاکوما Brige) (Tom Nrrow بود که در اثر وزش باد به ارتعاش در می ا مد. يکبار وزش باد ا نقدر موجب افزايش دامنه نوسانات ا ن گرديد تا موجب خرابی ا ن شد. Stility Criteri معيارپايداری پاسخ سيستم مرتبه با تابع تبديل مدار بسته ) ( G را در نظر می گيريم: Pge of 8

2 ( ) G Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) m Y αm + α + + α U β + β + + β m m ( z m)( z m ) ( z ) ( )( ) ( ) p p p A A A A p p p + ( ) ( ) ( ) pt pt pt () t A + A e + A e + + A e y + که. > m برای ورودی پله : با اعمال تبديل لاپلاس در فضای زمان خواهيم داشت: مشروط برا نکه قطب های سيستم يعنی ريشه های مخرج تابع تبديل p p و غيره دارای بخش حقيقی منفی باشند در اينصورت خروجی y به سمت A ميل خواهد نمود. معهذا اگر قطب (هاي ی) با بخش حقيقی مثبت وجود داشته باشد خروجی به سمت بی نهايت ميل خواهد نمود که در نتيجه سيستم ناپايدار خواهد بود. ( ) G ( + ) z i Y ( ) i U ( ) N M Q R ( + σ ) k + αm + ( αm + ωm) k m درنمايش کلی تر: مخرج تابع تبديل معادله مشخصه سيستم می باشد که ريشه هايش قطب های سيستم حلقه بسته است. پاسخ خروجی به ورودی ضربه با فرض عبارتست از: N Q R y t A e B e t σkt αmt ( ) + i( ω + θ ) k m m m k m ωm تمرين: با استفاده از قاعده بيان شده کداميک از سيستم های زير پايدار می باشند G(). ( + )( + ) G(). () ( + )( ) G. + + ( )( ) Pge of 8

3 () G + G() e برای تمام توابع بيان شده تعيين پايداری نسبتا" ساده است. ولی برای تعيين پايداری سيستم های با توابع تبديل مراتب بالا استفاده از قاعده تعيين دقيق ريشه های مخرج تابع تبديل مرسوم و کاربردی نبوده و برای چنين سيستم هاي ی روش معيار پايداری روت-هورويتز( Routh-Hurwitz ) بکار گرفته می شود. Roth-Hurwitz Stility Criteri معيار پايداری روت-هورويتز رو ش روت-هورويتز شرط پايداری را مثبت بودن تمامی ريشه های معادله چندجمله ای تعيين کرده است. چند جمله ای زير را در نظر می گيريم: منفی باشند در اينصورت حداقل يکی از ريشه,,,,, اگر هريک از ضراي ب های معادله دارای قسمت حقيقی مثبت است که سيستم مربوطه ناپايدارخواهد بود. صفر باشند در اينصورت سيستم بصورت گذرای,,,,, اگر هريک از ضراي ب مناسبی پايدار خواهد بود. مثبت باشند در اينصورت سيستم می تواند پايدار,,,,, اگر تمامی ضراي ب باشد که بايد ا زمايش دوم به عمل ا يد. برای اين ا زمايش بايد ا رايه روت Arry) (Routh مطابق شکل زير ا ماده گردد:.. x y z. x که : Pge of 8

4 محاسبه متغيرها رديف های ا رايه ا نقدر ادامه می يابد تا ا نکه کليه المانهای رديف ا رايه برابر صفر گردند. در اين وضعيت ا رايه بايد دارای + رديف باشد. چنانچه هريک از المانهای ستون اول منفی باشد در اينصورت معادله دارای حداقل يک قطب با قسمت حقيقی مثبت است که سيستم را ناپايدار خواهد نمود. تعداد تغيير علامت ها در ستون اول نيز معادل تعداد قطب های مثبت معادله می باشند. مثال معادله مشخصه زير را در نظر می گيريم: ا رايه روت برای ا ن بصورت زير خواهد بود: با بررسی ا رايه حاصل می توان دريافت که سيستم ناپايدار بوده و سيستم دارای دو قطب مثبت می باشد. Tutoril Quetio G OPENLOOP H () ( + )( + ) سي والات درسی تابع تبديل مدار باز سيستمی به صورت معادله زير است: ا يا سيستم مدار بسته برای مقدار پايدار است اگر نيست برای چه مقاديری از سيستم پايدار خواهد بود. سيستم تعادل يک هلی کوپتر با تابع تبديل مدار پيشرو G() H() به شکل زير اراي ه شده است: و تابع تبديل مدار پسخور. Pge of 8

5 G H () () 5 ( +.) ( +.)(.6 +.6) ( + ) ( + 9) مقادير که به ازأ ا ن سيستم پايدار خواهد بود را تعيين نماي يد. G H () () CLTF CLTF CLTF CLTF 5 ( +.) ( +.)(.6 +.6) ( + ) ( + 9) G( ) ( +.) ( +.)(.6 +.6) + G( ) H ( ) 5( +.) ( + ) + ( +.)(.6 +.6) ( + 9) 5( +.)( + 9) ( +.)(.6 +.6)( + 9) ( +.)(.6 +.6)( + 9) + 5( +.) ( + ) ( +.)(.6 +.6)( + 9) 5( +.)( + 9) ( +.)(.6 +.6)( + 9) + 5( +.) ( + ) 5( +.)( + 9) ( +.)(.6 +.6)( + 9) + 5( +.) ( + ) 5 حل: کاربرد Mtl >>ym ;k >> f(+.)*(^-.6*+.6)*(+9)+5*(+.)*k*(+) * f Pge 5 of 8

6 (+/5)*(^-9/5*+/5)*(+9)+(5*+/)*k*(+) >> ollet(f) ^+9.*^+(5*k+.76)*^+(5.75*k+.8)* *k با استفاده از معادله مشخصه جدول روت هورويتز را تشکيل می دهيم: S S S S S :.5 :.75 : > Therefore > که : برای پايداری بايد کليه ضراي ب در ستون دوم بزرگتر از صفر باشند: > : >.768 : > > : <. or >.89 Pge 6 of 8

7 با استفاده از قاعده روت-هورويتز پايداری سيستم های با معادلات مشخصه زير را بررسی نماي يد. برای معادله ا خر مقدار را طوری تعيين نماي يد که سيستم پايدار باقی بماند حالات خاص:. در ستون اول صفر وجود دارد ولی ساير عناصر ا ن سطر صفر نمی باشند. اگر تنها يک عنصر ا رايه رات صفر باشد ا ن را برابر عدد کوچکی مانند ε تعويض و ا رايه ا ن را به سمت صفر ميل می دهيم. مثال: پايداری چند جمله ای ا رايه راث: 5 q( ) ε 6 پس از تکميل را بررسی نماي يد. 5 or ε 6 ε ε ε 6 که دو تغيير علامت در ستون اول به دليل عدد بزرگ منفی در سمت راست صفحه قرار داشته و سيستم ناپايدار می باشد. حاصل شده است لذا سيستم دو ريشه. تمام عناصر يک سطر در ا رايه راث برابر صفر می باشند. تقارن دارد که جملات بصورت اين حالت زمانی اتفاق می افتد که چندجمله ای حول مبدأ jω)( ( + باشد. jω) يا ( + σ )( σ ) در اين حالت با استفاده از چندجمله ای کمکی که بلافاصله قبل از سطر صفر در ا رايه راث قرار دارد مشکل حل می شود. مرتبه چند جمله ای کمکی همواره زوج بوده و تعداد جفت ريشه های متقارن را نشان می دهد. Pge 7 of 8

8 q ( ) + + مثال: پايداری چند جمله ای + مدار است. حل: برای پايدار بودن سيستم بايد < 8 < اگر 8 باشد. باشد سيستم دو ريشه روی محور دارد و عناصر را بررسی نماي يد. بهره قابل تنظيم U ( ) 8 + jω سطر برابر صفر خواهند بود. چندجمله ای کمکی( U( از سطر بالای ا ن ساخته می شود که نشان دهنده دو قطب مزدوج روی محور موهومی است: + 8 ( + ) ( + j)( j) از چندجمله ای کمکی( U( می شوند: نسبت به مشتق گرفته شده و عناصر ا رايه سطر صفر از ا ن ساخته U ( ) ( + ) U ( ) ملاحظه می شود که در ستون اول تغيير علامتی وجود ندارد ولی به علت داشتن دو قطب مزدوج روی محور موهومی سيستم بصورت مرزی پايدار است که نوسانی و غيرقابل قبول است. Pge 8 of 8

Σχετικά έγγραφα

روش محاسبه ی توان منابع جریان و منابع ولتاژ

روش محاسبه ی توان منابع جریان و منابع ولتاژ ابتدا شرح کامل محاسبه ی توان منابع جریان: برای محاسبه ی توان منابع جریان نخست باید ولتاژ این عناصر را بدست آوریم و سپس با استفاده از رابطه ی p = v. i توان این